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技法(八)确定关系·待定系数方法概述待定系数法是确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的一种方法．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否可用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解应用题型既有选择、填空题，也有解答题．分解因式、拆分分式、数列通项或求和、求函数式、求解析几何中曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解类型一求函数解析式[例1]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，其中|PQ|＝25，则f(x)的解析式为______________．[解析]由题图可知A＝2，P(x1，－2)，Q(x2,2)，所以|PQ|＝x1－x22＋－2－22＝x1－x22＋42＝25.整理得|x1－x2|＝2，所以其最小正周期T＝2|x1－x2|＝4，即2πω＝4，解得ω＝π2.又函数图象过点(0，－3)，所以2sinφ＝－3，即sinφ＝－32.又|φ|π2，所以φ＝－π3.所以f(x)＝2sinπ2x－π3.[答案]f(x)＝2sinπ2x－π3类型二求曲线方程[例2]已知椭圆C的焦点在x轴上，其离心率为32，且过点A3，12，则椭圆C的标准方程为________．[解析]设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．因为其离心率e＝32，所以ba＝1－ca2＝12，即a＝2b.故椭圆C的方程为x24b2＋y2b2＝1.又点A3，12在椭圆C上，所以324b2＋122b2＝1，解得b2＝1.所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.[答案]x24＋y2＝1类型三求数列通项或前n项和[例3]已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝________.[解析]设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn.由已知可得A×32＋B×3＝21，A×52＋B×5＝65，化简得3A＋B＝7，5A＋B＝13，解得A＝3，B＝－2.所以Sn＝3n2－2n.[答案]3n2－2n[应用体验]1．函数y＝a－bcos3x(b0)的最大值为32，最小值为－12，则y＝－4asin3bx的最小正周期是________．解析：由题意可得a＋b＝32，a－b＝－12，解得a＝12，b＝1，所以函数y＝－4asin3bx＝－2sin3x的最小正周期T＝2π3.答案：2π32．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是__________．解析：设双曲线方程为x2－y24＝λ，将点(2,2)代入求得λ＝3，即得双曲线方程为x23－y212＝1.答案：x23－y212＝1
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