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第8讲函数与方程第二章函数概念与基本初等函数1．函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使__________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有__________⇔函数y＝f(x)的图象与__________有交点⇔函数y＝f(x)有__________函数零点的存在定理函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若_____________，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点f(x)＝0实数根x轴零点f(a)·f(b)02.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点__________，__________(x1，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)3.二分法条件(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上_____________；(2)在区间端点的函数值满足______________方法不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间_____________，使区间的两个端点逐步______________，进而得到零点近似值连续不断f(a)·f(b)＜0一分为二逼近零点判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B.依题意，f(2)0，f(3)0，f(4)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．函数f(x)＝x12－12x的零点有________个．解析：函数f(x)＝x12－12x的零点个数是方程x12－12x＝0的解的个数，即方程x12＝12x的解的个数，也就是函数y＝x12与y＝12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：1已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．解析：依题意可得f(－1)·f(1)0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)0，解得a－3或a1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)[典例引领]函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(1，e)和(3，4)D．(e，＋∞)函数零点所在区间的判断【解析】因为f′(x)＝1x＋2x20(x0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－230，f(2)＝ln2－10，所以f(2)·f(3)0，所以f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象[通关练习]1．在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的区间是()A．[0，1]B．[1，2]C．[－2，－1]D．[－1，0]解析：选D.因为f(0)＝1，f(1)＝2，所以f(0)f(1)＞0，因为f(2)＝5，f(1)＝2，所以f(2)f(1)＞0，因为f(－2)＝19－4＝－359，f(－1)＝13－1＝－23，所以f(－2)f(－1)＞0，因为f(0)＝1，f(－1)＝13－1＝－23，所以f(0)f(－1)＜0，易知[－1，0]符合条件，故选D.2．若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13解析：选C.令g(x)＝12x，f(x)＝x13，则g(0)＝1f(0)＝0，g12＝1212f12＝1213，g13＝1213f13＝1313，所以由图象关系可得13x012.[典例引领](1)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A．12，0B．－2，0C．12D．0函数零点个数的判断(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.【答案】(1)D(2)C函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[通关练习]1．函数f(x)＝ex－x－2，x≥0x2＋2x，x0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.当x0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－10，f(2)＝e2－40，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos(3x＋π6)在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos3x＋π6＝0，所以3x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，所以x＝π9＋kπ3，k∈Z，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝4π9；当k＝2时，x＝7π9，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.答案：3[典例引领](1)(数形结合思想)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)(2)(分离参数法)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．函数零点的应用【解析】(1)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.(2)因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝(2x－12)2－14，因为x∈[－1，1]，所以2x∈12，2，所以2x－122－14∈－14，2.所以实数a的取值范围是－14，2.【答案】(1)C(2)－14，2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法[通关练习]1．(2019·河南新乡模拟)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为()A．4或－52B．4或－2C．5或－2D．6或－52解析：选C.g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.2．(2019·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以f（1）0，f（2）0，即－a0，4－1－a0，解得0a3，故选C.3．(2019·福建漳州八校联考)已知函数f(x)＝2x－1，x0，x2＋x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14≥－14，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－14m≤0，即实数m的取值范围是－14，0.答案：－14，0明确三个等价关系(三者相互转化)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是相应函数的零点的个数，亦即该函数的图象与x轴交点的个数．如：二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件．函数的对称性与函数零点之和已知x0为函数f(x)的零点．(1)若函数f(x)为奇函数，则－x0也为函数f(x)的零点，故奇函数的所有零点之和为0.(2)若函数f(x)为偶函数，则－x0也为函数f(x)的零点，故偶函数的所有零点之和为0.(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝b对称，则2b－x0也为函数f(x)的零点，若该函数有2n个零点，则该函数所有零点之和为2nb.易误防范(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．
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本文标题：2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲 函数与方程课件 理 新人教A版
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