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2019年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题四数列与不等式考向一等差数列与等比数列的计算问题【高考改编☆回顾基础】1.【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和,若,,则.【答案】【解析】设该等差数列的公差为,根据题中的条件可得,整理解得,所以.2.【等比数列的通项公式】【2017课标3,理14】设等比数列na满足a1+a2=–1,a1–a3=–3,则a4=___________.【答案】83.【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列na的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则na前6项的和为.【答案】24【解析】【命题预测☆看准方向】等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式,且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年全国卷II理】记为等差数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)求,并求的最小值.【答案】(1)an=2n–9,(2)Sn=n2–8n,最小值为–16.【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=-1,b1=1,a2+b2=2,a3+b3=5,则{bn}的通项公式为________.【答案】bn=2n-1【解析】设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由a2+b2=2得d+q=3,①由a3+b3=5得2d+q2=6.②联立①②,解得d=3,q=0(舍去)或d=1,q=2.因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.【例2】【2017·江苏卷】等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=________.【答案】32【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列na满足243aa,351aa,则公比q_________,na_________.【答案】22222n【解析】设等比数列的首项为11,0aa,公比为,0qq,由题意可得326113,1aqqaq解得1222,,2naqa222n,填(1).22(2).222n【方法总结☆全面提升】1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列{an}前n项和问题常用的三个公式是:Sn=;Sn=na1+d;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017北京改编】若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1,a4=b4=8,求22ab.【规范解答】设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.【误区警示】用数列性质解决数列问题,往往可以简化解题过程,但技巧性较强,同时还要注意性质成立的条件,如等差数列{an}中,a1+an=a2+an-1,但a1+an≠an+1;等比数列的前n项和为Sn,则在公比不等于-1或m不为偶数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.考向二数列的通项与求和【高考改编☆回顾基础】1.【等比数列的求和】【2018年新课标I卷理】记为数列的前项和,若,则_____________.【答案】【解析】根据,可得,两式相减得,即,当时,,解得,所以数列是以-1为首项,以2为公布的等比数列,所以,故答案是.2.【裂项相消法】【2017·全国卷Ⅲ改编】已知an=22n-1,则数列an2n+1的前n项和为________.【答案】2n2n+1【解析】记an2n+1的前n项和为Sn,∵an2n+1=2(2n+1)(2n-1)=12n-1-12n+1,∴Sn=11-13+13-15+…+12n-1-12n+1=2n2n+1.3.【错位相减法】【2017山东卷改编】已知an=2n,bn=2n+1,则数列bnan的前n项和Tn=________.【答案】5-2n+52n【解析】令cn=bnan,则cn=2n+12n,因此Tn=c1+c2+…+cn=32+522+723+…+2n-12n-1+2n+12n,又12Tn=322+523+724+…+2n-12n+2n+12n+1,两式相减得12Tn=32+12+122+…+12n-1-2n+12n+1,所以Tn=5-2n+52n.4.【数列中的数学文化】【2017·全国卷Ⅱ改编】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯________盏.【答案】3【解析】设塔的顶层共有a1盏灯,根据题意得a1(1-27)1-2=381,解得a1=3.【命题预测☆看准方向】数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一,命题形式多种多样,以解答题为主,难度中等或稍难,数列的基本问题为先导,在解决数列基本问题后考查数列求和,在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列的求和多于等比数列的求和,考查的重点应该是围绕:常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列na与nb的前n项和分别为nS,nT,且0na,2*63,nnnSaanN,122121nnnanaab,若*,nnNkT恒成立,则k的最小值是()A.17B.149C.49D.8441【答案】B【解析】当1n时,211163aaa,解得13a或10a.由0na得13a.由263nnnSaa,得211163nnnSaa.两式相减得22111633nnnnnaaaaa.所以11()(3)0nnnnaaaa.因为0na,所以110,3nnnnaaaa.即数列na是以3为首项,3为公差的等差数列,所以3313nann.所以111281117818181812121nnnannnnnnaab.所以22311111111111117818181818181778149nnnnT.要使*,nnNkT恒成立,只需149k.故选B.【趁热打铁】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线ln*yxxnnN在x轴的交点处的切线经过点1,na,则数列1na的前n项和nS__________.【答案】1nn[来源【解析】令ln0xxn,得1xn,则切点为1,0n∵lnxyxnxn∴1|1xnyn∴曲线lnyxxn在x轴的交点处的切线方程为11ynxn∵切线经过点1,na∴1nann∴111111nannnn∴11111122311nnSnnn故答案为1nn【例2】【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.(Ⅰ)求q的值;(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由是的等差中项得,所以,解得.由得,因为,所以.(Ⅱ)设,数列前n项和为.由解得.由(Ⅰ)可知,所以,故,.设,所以,因此,又,所以.【趁热打铁】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列na满足1111,021nnnaaaa.(Ⅰ)求证:数列1na是等差数列;(Ⅱ)若数列nb满足1122,1nnnnbabba,求nb的前n项和nS.【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)12326nnSn【解析】(Ⅰ)若10na,则0na,这与11a矛盾,∴10na,由已知得1120nnnnaaaa,∴1112nnaa,故数列na是以111a为首项,2为公差的等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1112121nna,由112nnnnbaba可知112nnnnabab.又112ab∴1222nnnnab∴212nnbn,∴123123252212nnSn,则23412123252212nnSn,∴231122222222123226nnnnSnn,∴12326nnSn【例3】【2018届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列na的前n项和nS满足:21nnSa.(1)数列na的通项公式;(2)设1111nnnnnaabaa,且数列nb的前n项和为nT,求证:13nT.【答案】(1)1*111·333nnnanN,;(2)见解析。(2)证明:11111111133111131311133nnnnnnnnnnnaabaa.由111111,313313nnnn,所以111111313133nnnnnb,所以12223111111111133333333nnnnnTbbb.因为1103n,所以1111333n,即13nT.故选C.【趁热打铁】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列na的前n项和为nS,11a,*121,nnaSnN.等差数列nb中,25b,且公差2d.(Ⅰ)求数列,nnab的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数n,使得1122...60nnabababn>?.若存在,求出n的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)13nna
本文标题:2019年高考数学理二轮复习专题数列与不等式
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