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-新世纪教育网版权所有《数学》(北师大.七年级下册)-新世纪教育网版权所有全等三角形性质判定对应边相等对应角相等能够完全重合大小,形状相同知识框架图形的全等-如果有三条边对应相等,那么这两个三角形全等(简记SSS)∵在△ABC与△DEF中,AB=DEBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)-如果有两条边及它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等(简记为SAS)-如果有两个角及它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为ASA)-如果有两个角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为AAS)-新世纪教育网版权所有斜边、直角边公理(HL):ABCA′B′C′∵在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌CBABACB在两个直角三角形中,斜边与一条直角边对应相等的两个三角形全等Rt△CBA(HL)-如图,已知AD=AC,要使△ADB≌△ACB,需要添加的一个条件是__________.找夹角找第三边找直角已知两组边:∠DAB=∠CAB(SAS)BD=BC(SSS)∠D=∠C=90°(HL)开放问题CDA-、如图,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请补充一个条件_______,使△ABC≌△DCB。思路1:注意其中的公共边找夹角找第三边找直角已知两边:∠ABC=∠DCB(SAS)AC=DB(SSS)∠A=∠D=90°(HL)ABCD-、如图,已知∠C=∠D,要识别△ABC≌△ABD,需要添加的一个条件是____________。找任一角已知一边一角(边与角相对)(AAS)∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBAACBD-已知∠B=∠E,要识别△ABC≌△AED,需要添加的一个条件是。已知两组角:找夹边找一角的对边ACDEAB=AEAC=AD或BC=ED(ASA)(AAS)-=AE,要使△ABC≌△AED,需要添加的一个条件是__________。已知一组边一组角(边与角相邻):找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角AC=AD∠B=∠E∠ACB=∠ADE(SAS)(ASA)(AAS)ACDE-=ED,要使△ABC≌△AED,需要添加的一个条件是__________。找任一角已知一组边一组角(边与角相对)(AAS)∠B=∠E或者∠ACB=∠ADE(AAS)ACDE添加AC=AD或者AB=AE可以吗?-=ED,要使△ABC≌△AED,需要添加的一个条件是__________。找任一角(AAS)∠B=∠E或者∠ACB=∠ADE(AAS)ACDE要防止出现“SSA”的错误!已知一组边一组角(边与角相对)-已知∠1=∠2,要识别△ABC≌△CDA,需要添加的一个条件是__________思路3:已知一边一角(边与角相邻):ABCD21找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B(SAS)(ASA)(AAS)-新世纪教育网版权所有认准对应边、对应点例:在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要判定这两个三角形全等,还需要条件()A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F解决这类几何问题,一定要观察图形,没有图要画图-新世纪教育网版权所有擦亮眼睛,发现隐含条件ADCBADCBDBCAO隐含条件——公共边-隐含条件——公共角隐含条件——对顶角擦亮眼睛,发现隐含条件-新世纪教育网版权所有四个等式:①,②,③,④请从这四个等式中选出两个作为条件,推出是△AED等腰三角形.已知:。求证:△AED是等腰三角形.ABDCBECEBCBAECDE-新世纪教育网版权所有如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,试说明∠A=∠DDBAEFC分类例题——重叠线段-新世纪教育网版权所有已知:如图,BA=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE:求证:AC=DEEDCBA分类例题——重叠角-新世纪教育网版权所有如图,在等腰Rt△ABC中,P是斜边BC的重点,以P为顶点的直角的两边分别与边AB,AC交与点E,F,连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时,△PEF也始终是等腰直角三角形,请你说明理由。分类例题——重叠角-新世纪教育网版权所有例:用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,则说明的依据是。AOBAOB分类例题——全等的应用-尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,由作法得的根据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS分类例题——全等的应用12CDOCPODP△≌△-、全等三角形的概念——2、全等三角形的性质——3、全等三角形的判定方法(SSS)(SAS)(ASA)(AAS)(HL)能够重合的三角形对应边相等、对应角相等-新世纪教育网版权所有如图,AB=AC,BD=CD,BH=CH,图中有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?HDCBA解:有三组。在△ABH和△ACH中∵AB=AC,BH=CH,AH=AH∴△ABH≌△ACH(SSS);∵BD=CD,BH=CH,DH=DH∴△DBH≌△DCH(SSS)在△ABH和△ACH中∵AB=AC,BD=CD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS);在△ABH和△ACH中-如图,在①AB=CD;②AD=CB;③E、F分别是AB,CD的中点;④DE=BF这四个命题中,选取三个作条件,能否得出下面结论?并说明理由.1)△ADE≌△CBF2)∠A=∠CADBCFE-新世纪教育网版权所有例.如图,E,F在BC上,BE=CF,AB=CD,AB∥CD。求证:AF∥DEABCDEF:BECFBEEFCFEFBFCE证明//ABCDBC又ABFDCEABCDBCBFCE在和中∆ABF≌∆DCE(SAS)∴∠AFB=∠DEC∴AF//DE-新世纪教育网版权所有∵AB∥CD,AD∥BC(已知)∴∠1=∠2∠3=∠4在△ABC与△CDA中∠1=∠2(已证)AC=AC(公共边)∠3=∠4(已证)∴△ABC≌△CDA(ASA)∴AB=CDBC=AD(全等三角形对应边相等)证明:连结AC.例.如图,AB∥CD,AD∥BC,那么AB=CD吗?为什么?AD与BC呢?ABCD2341-新世纪教育网版权所有例.如图,已知AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2,求证:BC=DEABCDE12证明:∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC∴∠BAC=∠DAE在∆ABC和∆ADE中∴∆ABC≌∆ADE(ASA)∴BC=DEBACDAEBDABAD-新世纪教育网版权所有解∵CE⊥AB,DF⊥AC(已知)∴∠AEC=∠BFD=Rt∠∵AF=BE(已知)即AE+EF=BF+EF∴AE=BF∵AC=BD∴RtΔACE≌RtΔBDF(HL)∴CE=DF(全等三角形的对应边相等)如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,AC=BD,AF=BE,则CE=DF。说明理由。-新世纪教育网版权所有例.已知:∠ACB=∠ADB=900,AC=AD,P是AB上任意一点,求证:CP=DPCABDP证明:在Rt∆ABC和Rt∆ABD中ACADABAB∴Rt∆ABC≌Rt∆ABD∴∠CAB=∠DABAPCAPD在和中AC=ADCAP=DAPAP=AP∴∆APC≌∆APD(SAS)∴CP=DP-⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE与CD相交于点O,且∠1=∠2,求证OB=OC。证明:∵∠1=∠2CD⊥AB,BE⊥AC∴OD=OE(角平分线的性质定理)在△OBD与△OCE中∠BOD=∠COE(对顶角相等)OD=OE(已证)∠ODB=∠OEC(垂直的定义)∴△OBD≌△OCE(ASA)∴OB=OC-、B、C在一直线上,△ABD,△BCE都是等边三角形,AE交BD于F,DC交BE于G,求证:BF=BG。证明:∵△ABD,△BCE是等边三角形。∴∠DBA=△EBC=60°∵A、B、C共线∴∠DBE=60°∴∠ABE=∠DBC在△ABE与△DBC中AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC(SAS)∴∠2=∠1在△BEF与△BCG中∠EBF=∠CBGBE=BC∠2=∠1∴△BEF≌△BCG(ASA)∴BF=BG(全等三角形对应边相等)-新世纪教育网版权所有角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用法:∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.∴点Q在∠AOB的平分线上.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法:∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD=QE二.角的平分线:1.角平分线的性质:2.角平分线的判定:-新世纪教育网版权所有例.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.证明:过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上,FG⊥AE,FM⊥BC∴FG=FM又∵点F在∠CBD的平分线上,FH⊥AD,FM⊥BC∴FM=FH∴FG=FH∴点F在∠DAE的平分线上-∠B=90º,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AE平分∠DABCDBAEF证明:作EF⊥AD,垂足为F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90º∴∠C=90º又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中点∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90º∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC-新世纪教育网版权所有如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。∵AB=AC(已知)AD=AD(公共边)∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD解:BD=CD∵∠ADB=∠ADC=90°-新世纪教育网版权所有练习.如图,在△ABC中,两条角平
本文标题:全等三角形的复习
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