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26.1.2反比例函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用第二十六章反比例函数学习目标1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)导入新课反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与k有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线当k0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.复习引入问题1问题2用待定系数法求反比例函数的解析式一典例精析例1已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.kyx62k因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为.12yx练一练已知反比例函数的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；kyx解：∵反比例函数的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，kyx32k解得k=6.∴这个函数的表达式为.6yx(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点B，C的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．(3)当－3x－1时，求y的取值范围．解：∵当x=－3时，y=－2；当x=－1时，y=－6，且k0，∴当x0时，y随x的增大而减小，∴当－3x－1时，－6y－2.反比例函数图象和性质的综合二(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？Oxy例2如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.练一练如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是()1kyxA．－1B．3C．1D．0OxyB反比例函数解析式中k的几何意义三1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：4yx合作探究51234－15xyOPS1S2P(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系4yx44S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1QS1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P(－1，4)Q(－2，2)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4yx4yx44S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1S2由前面的探究过程，可以猜想：若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.xkyyxOPS我们就k0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，kyx∴，即ab=k.kba∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P在第二象限，则a0，b0，若点P在第四象限，则a0，b0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.Q对于反比例函数，xkyAB2k|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性A.SASBSCB.SASBSCC.SA=SB=SCD.SASCSB如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCCxy1做一做例3如图所示，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．xky解：设点A的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数的图象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为kyx124.yx1.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=.－12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.yxOPA=kyx练一练xky2.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是.或3yx3yx例4如图，P，C是函数(x0)图像上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则S1=；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3.4yx2S1S2＞＝S3如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为.S1=S2S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2S3FS1S2S3yDBACx例5如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S平行四边形ABCD=___.2yx3yx325方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为()A.2B.4C.6D.8xy4DyxOCABD练一练44反比例函数与一次函数的综合二在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1、k2、b各应满足什么条件？xky1k20b0k10k20b0k10合作探究①xyOxyO②k20b0k10k20b0③xyOk10④xyO例6函数y=kx－k与的图象大致是())0(kxkyD.xyOC.yA.yxB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0由一次函数增减性得k＞0由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是()ayxA.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练例7如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为.－23yx0－2x0或x32myx解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知－2x0或x3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.练一练如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是．22kyx－12yx0AB－1x0或x2例8已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为y=k1x和.2kyx所以，.143k243k解得，.143k212kP则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.43yx12yx这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为．12yx(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.练一练例9已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数图象的两个交点，求一次函数解析式及m的值.myx12解：把A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得12－4k+b=，12－k+b=2，k=，解得b=，1252所以一次函数的解析式为y=x+.1252把B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.myx当堂练习A.4B.2C.－2D.不确定1.如图所示，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB⊥x轴于点B，点A在y轴上，△ABP的面积为2，则k的值为()kyxOBAPxyA2.反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．xky3yx3.如图，直线y=k1x+b与反比例函数(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＞的解集是___________．2kyx2kx1＜x＜5OBAxy154.已知反比例函数的图象经过点A(2，－4).(1)求k的值；kyx解：∵反比例函数的图象经过点A(2，－4)，∴把点A的坐标代入表达式，得，kyx42k解得k=－8.(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.(3)画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4)点B(1，－8)，C(－3，5)是否在该函数的图象上？因为点B的坐标满足该解析式，而点C的坐标不满足该解析式，所以点B在该函数的图象上，点C不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为.8yxxyOBA5.如图，直线y=ax+b与双曲线交于两点A(1，2)，B(m，4)两点，(1)求直线与双曲线的解析式；kyx所以一次函数的解析式为y=4x－2.把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a=4，b=－2.解：把B(1，2)代入双曲线解析式中，得k=2，故其解析式为.当y=－4时，m=.2yx12(2)求不等式ax+b＞的解集.kxxyOBA解：根据图象可知，若ax+b＞，kx则x＞1或＜x＜0.126.如图，反比例函数与一次函数y=－x+2的图象交于A，B两点.(1)求A，B两点的坐标；AyOBx8yx解：8yx，y=－x+2，解得x=4，y=－2所以A(－2，4)，B(4，－2).或x=－2，y=4.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求△AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，∴OM=2.OAyBxMCD∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b的正负反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对
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