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莊益源‧中正大學財務金融學系1選擇權風險管理簡介1簡介近年來，許多風險管理的焦點都與衍生性金融商品有關係。本講義之目的，在於介紹衍生性商品的風險與基本的分析工具。在風險管理上，一個最基本的問題就是投資組合或是金融衍生物在標的物或其他風險因子變動的時候，它們的價值會受到甚麼影響，這稱為敏感度分析。如果投資組合裏，含有選擇權或其他衍生性商品，則我們一定要借助模型的幫助，才可以從事敏感度的分析與風險控管的工作，無論你(妳)使用的模型是簡單或複雜、陽春或炫麗，一個財務工程師離開不了模型。選擇權敏感度分析的參數通常用希臘字母來表示，所以又稱為「Greeks」。選擇權常用的敏感度分析參數有5項，分別為delta、gamma、vega、theta、與rho，它們在選擇權的風險管理上是關鍵的角色，我們簡述如下：delta=選擇權權利金相對於標的物價格變動之敏感度gamma=delta相對於標的物價格變動之敏感度vega=選擇權權利金相對於波動程度變動之敏感度theta=選擇權權利金相對於到期日變動之敏感度rho=選擇權權利金相對於對利率變動之敏感度在數學上，每一個敏感度的測度，都是一階或二階的偏微分，因此有幾點需要注意的地方。第一，計算敏感度的測度須要模型，並且這測度與使用的模型有關，不同的模型所得到的值是會有差異的。第二，敏感度的定義事實上是抽象的。它們都是假設其他的風險因子不變之下，選擇權價格相對於某個風險因子微量改變的反應程度，這與事實是不符的。例如delta是其他條件不變下，選擇權價格相對於標的物價格變動的敏感度，但是如果時間也不變，股價當然也不會變，因此這定義是抽象的。第三，依偏微分的定義，這些測量的工具只有在微量變動的時候才適用。版權所有敬請尊重莊益源‧中正大學財務金融學系2以Black-Scholes模型為例，歐式買權與賣權敏感度參數的封閉解是存在的，我們整理於下表1：定義解釋歐式買權歐式賣權=SF選擇權價格相對於標的物價格變動之敏感度1N(d1)00N(d1)11=SSF22選擇權delta相對於標的物價格變動之敏感度TS)d(n10TS)d(n10=TF選擇權價格相對於到期日變動之敏感度T2)d(nS1rKerTN(d2)0T2)d(nS1+rKerTN(d2)=F選擇權價格相對於波動率變動之敏感度STn(d1)0STn(d1)0=rF選擇權價格相對於無風險利率變動之敏感度KTerTN(d2)0KTerTN(d2)0其中F表示買權或賣權，n(d1)=2/d21e21d1=TT)5.0r()K/Sln(2，d2=d1T如果標的物是發放連續股利率，敏感度參數也一樣可以求得，並且藉著對連續股利率的不同解釋，可以應用在股價指數選擇權、外匯選擇權與期貨選擇權：定義歐式買權歐式賣權=SFeqTN(d1)eqT[N(d1)1]=22SFTS)d(ne1qTTS)d(ne1qT=TFT2)d(nSe1qTrKerTN(d2)+qSN(d1)eqTT2)d(nSe1qT+rKerTN(d2)+qSN(d1)eqT=FSeqTTn(d1)SeqTTn(d1)=rFKTerTN(d2)KTerTN(d2)其中d1=TT)5.0qr()K/Sln(2，d2=d1T1通常履約價格的變動的敏感度不在考慮之內，因為契約的履約價格是固定的。但是在隱含波動率理論的研究上C/K或P/K是常用的工具。莊益源‧中正大學財務金融學系32投資組合之敏感度參數敏感度有一個很大的特色，只要標的物是一樣，則相同的測度可以相加總，因此計算衍生性商品投資組合的敏感度其實非常方便。與個別的選擇權一樣，投資組合的敏感度的分析，是以整個投資組合為一個單位來解釋。假設Greeki表示第i個衍生物的某個敏感度測度，ni是第i個衍生物持有的數量單位，Vi為單位價值，投資組合內總共有N個衍生物，價值V=iniVi。則投資組合的敏感度測度GreekV為以數量為權數的加權總合：GreekV=N1iiiGreekn解析投資組合的敏感度參數為：N1iiiN1iiiGreekn)(Vn)(V風險因子風險因子以上的公式可以用來計算投資組合的delta,gamma,theta,vega,與rho等。#敏感度測度可以提供交易者做為採取不同策略的分析工具，投資人可以依自己的意願，在投資組合(或選擇權)的部位上採取量身訂作的delta,theta,vega,與rho以反應各人的喜好、決策。例如一階的敏感度測度為0，表示投資組合(或選擇權)對於該風險因子是中性的，風險因子的變動只要不太大，投資組合的價值是不變的(對該因子免疫)。二階的敏感度測度，最重要的是gamma，它是在採取避險策略時非常重要的工具，我們以後將會仔細討論。例題：若保持投資組合總部位的delta為0，表示採取中性的部位；保持delta為負表示看跌，此時市場如果下跌，投資組合的價值會上漲；保持delta為正表示看漲，如果市場上揚，投資組合的價值也會上漲。例題：假設投資人對未來股價的漲跌方向並不確定，但是預期波動率會增加，則可以設計投資組合總部位的delta為0，對標的物採取中性的部位，並且保持vega為正。只要波動率增加，無論是漲或跌，投資組合的價值都會增加。莊益源‧中正大學財務金融學系43敏感度參數Delta定義：delta參數表示選擇權價格相對於現貨價格變動之敏感度。以Black-Scholes模型為例，買權與賣權的delta分別為：C=SC=N(d1)P=C1買權的delta，0C1，因為N(d1)是累積常態分配，介於[0，1]之間；而賣權的delta，1p0。關於敏感度參數delta，我們以幾個例子來說明它的特色與性質。例題：銀行存款、股票、遠期契約與期貨的delta各為多少？解析銀行存款不受股價的影響，delta為0；股價漲$1，股票本身也漲$1，所以股票的delta總是為1；以(無發放股利)股票為標的之遠期契約與期貨，我們已經討論過，其delta分別為1與erT*，T*為期貨到期日。#例題：假設在t1時股價為$60，買權價格為$3.5；過了一陣子，在t2(t2t1)時股價仍為$60，買權由於時間價值的遞減，價格為$3.1。請問此時買權的delta為多少？解析此時選擇權的delta為C/S，這是它的定義。而delta與模型有關，如果你(妳)使用Black-Scholes模型，delta為N(d1)，可以由當時市場上的資料股價、到期日、波動率、利率等來求得，如果你(妳)使用不同的模型，則delta值也不盡相同。可能有人想以($3.1$3.5)/($60$60)來估計，但是卻發現行不通。事實上，這種算法又叫做修正的(modified)delta，乃是以實際的選擇權價格與股價的變動來估算C/S，這也是模型，但不是好模型，應該少用。#例題：為什麼delta又稱為相當的股數(shareequivalent)？解析假設買權的delta=0.7，這表示股票每上漲1元，選擇權上漲約0.7元，莊益源‧中正大學財務金融學系5換句話說，選擇權就好像是0.7股的股票一樣，所以delta又稱為相當的股數(shareequivalent)。對於賣選擇權的交易者，他(她)所面臨的風險就好像是持有delta單位的股票，因此有許多交易所以此做為賣出選擇權所須繳交的保證金。#例題：delta是選擇權報酬函式上的斜率。解析這是根據delta的定義，C/S而來，並且這斜率是小於1。請注意，這斜率隨著股價、到期日、波動率、利率等變動也會變動。在其他條件一樣之下，考慮delta隨股價的變化，我們可以觀察到，斜率變動的速率是不一樣的；價平的時候，選擇權的斜率變化速度最大，越是往深價內或深價外移動，斜率幾乎固定不變。#例題：為什麼delta又稱為避險比率(hedgeratio)？解析假設買權delta=0.7，並且是採取空頭的部位，股價上漲$1，大約將損失$0.7。換言之，如果你(妳)想要規避賣買權因股價變動的風險，可以買進0.7股的標的股票，則這一漲一跌使得總部位對於股價微量的變動是免疫的(immunized)。由於投資人在避險時必須買進delta單位的股數，所以delta又稱為避險比率(hedgeratio)。賣權的例子也是相似，買賣權可以買進delta股的標的股票來規避價格變動的風險；賣賣權可以賣空delta股的標的股票來避險。#0S報酬函式斜率max[0，S–K]圖：報酬函式之斜率與delta。莊益源‧中正大學財務金融學系6例題：價平、價內、與價外的選擇權隨著到期日的逼近，delta各有甚麼樣的變化？解析我們可以將delta視為選擇權的生命指標，並以此來解釋它隨股價、到期日改變的各種變化。深價內買權的delta趨近於+1，這表示這支買權非常活絡，標的物漲$1，買權也約漲$1；深價外買權的delta趨近於0，這表示擁有選擇權就如同一張廢紙一樣，標的股價變動，但衍生物卻不動；價平買權delta約為0.5，這表示選擇權介於死與活之間。隨著到期日的接近，價內選擇權的delta增加，表示存活的機率增加，但是價外選擇權的存活機率卻變小了，因此delta也減少。我們可以檢視買權delta的3D圖來驗證：02040608010000.20.40.60.8100.20.40.60.81STCallDelta圖：買權之delta。莊益源‧中正大學財務金融學系7Delta中性避險考慮一個賣出買權的部位。如果不採取任何避險措施則必須承受賣買權的風險。如果是作市者賣出買權，可以在上市的衍生性商品採取相反的部位，此時可以賺取價差。但是買權若是在OTC市場交易，通常是量身訂作的，因此要採取相反的部位可能並不容易，或者非常的昂貴。此時可以採取delta中性的避險策略。Delta中性避險的目的是希望投資組合的部位能夠對標的物的漲跌免疫，其原則是保持投資組合的delta為0，此時，投資組合稱為delta中性。然而delta並非固定不變的，它隨著股票、時間、波動率等改變而改變，因此必須採取動態調整的策略隨時保持買進的股票單位等於選擇權的delta，則這投資組合(選擇權+股票)的淨部位在瞬間都是無風險的，理論上如果我們能連續調整股票的部位，則將賺取無風險的利率做為報酬。例題：假設S0=$100,=35%,r=5%。考慮賣出10張歐式買權(每張控制1,000股)的部位，其K=$95，C0=$9.35，T=10週。採用delta避險策略，每週再調整其部位，請分析其損益與避險的表現。解析到期日股價DeltaDelta之變化股票交易成本累積成本10100.000.68216821682100682100995.750.5739-0.1082-1082-103639579117885.440.2584-0.3155-3155-269509310166795.040.54760.28922892274829585293689.970.3634-0.1842-1842-165703420153596.830.60810.24472447236909657467493.660.4766-0.1314-1314-1231035349963100.530.77330.296729672982678337782102.920.89050.117211721206339552131105.590.98680.096396310166510577960114.811.00000.0132132151291073943@579,117=682,100e0.05(1/52)103,639採取delta中性避險的策略，在到期日時的損益為：避險損益=選擇權權利金與利息收入累積避險成本+履約之收入
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