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高等数学第一学期期末练习答案一、填空题1、已知432lim23=−+−→xkxxx，则k=__________.答案：3k=−；解：30|)2(432lim3223−=⇒=+−⇒=−+−=→kkxxxkxxxx。2、231lim(3cos)nnnnn→∞+++=;sin(!)lim________________nnn→∞=;答案：0;0;解：都是无穷小量与有界变量的乘积。3、设函数()11xyx=+，则(1)y′=__________;)2('y=__________;答案：2ln21−;123ln3332−；解：ln(1)ln(1)ln(1)2ln(1)ln(1)1[][][]xxxxxxxxxxyeeexx+++−+++′′′===(1)12ln2y′⇒=−，123ln3332)2(−=′y。4、设函数()fx可导，2ln[()]yfx=，则dy=________________;2()(),()dfxgxhxxdx==，则=)))(((xhfd__________________;设函数()fx可导，)(cos2xfy=，则dy=________________.答案：222()()xfxdxfx′;22()xgxdx;222sin(cos)xxfxdx′−解：2222222112[()][()][()]()()()()xfxyfxfxxfxfxfx′′′′′===22((()))[(())]()[()]22()fhxfhxhxfxxxgx′′′′===2222222[(cos)](cos)[(cos)](sin)()2sin[(cos)]yfxxfxxxxxfx′′′′′′==−=−5、曲线2ttxeye−==在0t=处的切线方程为.240xy+−=设lntanlntan2xtty==，则3dydxtπ==.12；解：2122tttdydyedtedxdxedt−−−===−所以20011||22tttdykedx−====−=−切当0t=时，2,1xy==所求切线方程为11(2)2yx−=−−，即240xy+−=。2211sec22tan21sectantdytdydtdxdxtdtt==3dydxtπ==126、曲线xxyln=的所有切线中，与直线022=−+yx垂直的切线方程为20xye−−=.解：1ln+=′xy，令21ln=+=′xy得eyex=⇒=切线方程为)(2exey−=−，即20xye−−=7、已知xey2=，则=)(ny______________________.22nxe解：xxxeyeyey232222,2,2=′′′=′′=′…8、已知函数y=3ex，则其弹性函数ExEy=________33x解：32333xxeyxdxdyyxExEyx===9、使函数23)(xxxf−=在区间]2,1[−上的拉格朗日中值公式成立的ξ有解：.3)()1()2(ξfff′=−−，即02232=−−ξξ173ξ±⇒=10、函数()yfx=在点0x处可导是它在点0x处可微的条件，是它在点0x处连续的_______{}na条件；数列有界为limnna→∞存在的条件；数列{}na无界是其为无穷大量的条件。充要;充分；必要不充分；必要不充分11、函数()fx在区间(),−∞+∞上可导,且当1x时，3)(3++=xxxf；当1≥x时，baxxf+=2)(,那么参数a和b的值应分别为；()fx函数在区间(),−∞+∞上连续,当0x≠时，1()sinfxxx=,(0)f=.解:当2,3；01x时，13)(2+=′xxf,当1x时，axxf2)(=′4)1('=−f,af2)1('=+2=⇒ababaxxfxx+=+=++→→)(lim)(lim211,5)3(lim)(lim311=++=−−→→xxxfxx5=+⇒ba3=⇒b001lim()limsin0(0)xxfxxfx→→===12、已知2)1(=′f，若)(xf在区间(),−∞+∞上为偶函数，则)1(−′f=；若)(xf在区间(),−∞+∞上为奇函数，则)1(−′f=2−；2解：2)1()1()()()()(−=′−=−′⇒−′−=′⇒−=ffxfxfxfxf2)1()1()()()()(=′=−′⇒−′=′⇒−−=ffxfxfxfxf13、函数xxy−+=1在]1,5[−的最大值=__________，最小值=___________.65,45+−解：xy−−=′1211，令0=′y，得43=x，65|5+−=−=xy，45|43==xy，1|1==xy14、已知∫++=cxdxxf)1arctan()(2，则()xxefedx=∫.Cex++)1arctan(2解：设∫+=CxFdxxf)()(，即CxxF++=)1arctan()(2则CeCeFdeefdxefexxxxxx++=+==∫∫)1arctan()()()(215、若2()xfxdxexC=+∫,则()fx=．2(2)xexx+解：2()xfxdxexC=+∫)2()())(()(22xxeCxedxxfxfxx+=′+=′=⇒∫16、xyxe−=的麦克劳林展开式中6x的系数=__________;把函数2)(xexf−=展开成具有Peano型余项的Maclaurin公式，=)(xf.1120−;220(1)()!kknnkxoxk=−+∑二、选择题1、当时，无穷小量是的（C）当0→x时，xxsin−与x比较是（A）当时，无穷小量)1(2x−是)1(3x−的（D）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小解：1)1(lim21)1(2)1)(1(lim)1(21lim111=+=−+−=−−→→→xxxxxxxxx011sinlimlimsinlim0.0.0.=−=−=−→→→xxxxxxxxxx3232lim)1(31lim121=−−=−−→→xxxxx2、当x→∞时，若21axbxc++等价于11x+，则,,abc的值一定是（B）A.0,1,1abc===B.0,1,abc==为任意常数C.0,,abc=为任意常数D.,,abc均为任意常数解：cbxaxxxcbxaxxx+++=+++=∞→∞→221lim111lim11,0==⇒ba，c任意3、设nnnxzy≤≤，且lim()0nnnyx→∞−=，则limnnz→∞（C）A.存在且等于零B.存在但不等于零C.不一定存在D.必不存在解：取nzyxnnn===，极限不存在，取nzyxnnn1===，极限存在4、在]1,1[−上满足罗尔定理条件的函数是（C）A.21xB.||xC.21x−D.122−−xx解：21x在0=x不连续，||x在0=x不可导，122−−xx在1±=x处不相等5、设对于任意的x，都有0()(),()0fxfxfxk′−=−=−≠，则0()fx′−=（B）.A.kB.k−C.k1D.k1−解：)()(xfxf−=−)()()()1)((00xfxfxfxf−′=′⇒′−=−−′⇒6、设函数()fx二阶可导，如果00()()10fxfx′′′=+=，那么点0x（A）A．是极大值点B．是极小值点C．不是极值点D．不是驻点解：01)(01)(00−=′′⇒=+′′xfxf7、2π=x是函数xxytan=的（A）.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点解：0tanlim2=→xxxπ8、设()()2fxfx′=，则n阶导数()()xfn=（D）A.()xfn2+B.()xfn1+C.()xfnn2!D.()xfnn1!+解：()()2fxfx′=)(2)()(2)(3xfxfxfxf=′=′′⇒)(32)()(32)(42xfxfxfxf×=′×=′′′⇒)(!)(1)(xfnxfnn+=⇒9、设生产x个单位的总成本函数为720122++=xxxC)(，则生产6个单位产品时的边际成本是（C）A.6B.20C.21D.22设某商品的需求量D对价格p的需求函数为D=50-5p，则需求价格弹性函数为(A)A.250−ppB.pp−250C.51pp−250D.51250−pp已知某商品的产量为x时，边际成本为)x(ex1004−，则使成本最小的产量是（C）A.23B.24C.25D.26解：21|)206()6(206)(6=+=′⇒+=′=xxCxxC弹性250)51(550−=−−==ppppdpdDDp边际为0的产量即为使成本最小的产量，250)1004(=⇒=−xxex10、若)(xf和)(xg对于区间),(ba内每一点都有)()(xgxf′=′，在),(ba内有（D）A.)()(xgxf=B.为常数）（2121,c,)(,)(ccxgcxf==C.)()(xcgxf=（c为任意常数）D.cxgxf+=)()(（c为任意常数）11、函数()fx在点0x处取得极小值，则必有（D）A.()00fx′=B.()00fx′′C.()00fx′′D.()00fx′=或不存在12、设点()1,3为曲线32yaxbx=+的拐点,则必有(A)A.39,22ab=−=B.1,1ab==−C.39,22ab==D.1,1ab=−=解：baxybxaxy26,232+=′′+=′()1,3为拐点⇒=+=+⇒=′′=⇒==02630|3|11babayyxx39,22ab=−=13、函数)(xf满足0)(,0)()(000′′′=′′=′xfxfxf，则（D）.A.)(0xf′是)(xf′的极值.B.)(0xf是)(xf的极大值.C.)(0xf是)(xf的极小值.D.))(,(00xfx是曲线)(xfy=的拐点.解：0)()(0)()()()(lim)(0000000=′′′′⇒′′−′′⇒−′′−′′=′′′+→+xfxfxfxfxxxfxfxfxx0)()(0)()()()(lim)(0000000=′′′′⇒′′−′′⇒−′′−′′=′′′−→−xfxfxfxfxxxfxfxfxx14、)(xf的导函数为xsin，则)(xf的一个原函数为(B)A．xsin1+B.xsin1−C.xcos1+D.xcos1−解：211sin)(cos)(sin)(CxCxdxxfCxxfxxf++−=⇒+−=⇒=′∫取1,021==CC得B若为填空题21sinCxCx++−三、解答题1、已知)(0xf′′存在，求20000)(2)()(limhxfhxfhxfh−−++→解：20000)(2)()(limhxfhxfhxfh−−++→＝hhxfhxfh2)()(lim000−′−+′→＝hhxfxfxfhxfh2)()()()(lim00000−′−′+′−+′→＝])()(lim)()(lim[21000000hhxfxfhxfhxfhh−′−′+′−+′→→＝)()]()([21000xfxfxf′′=′′+′′2、20)]1[ln(cos1limxxx+−→解：原式＝22021limxxx→＝123、302sin2limxxxx−→解：原式=2032cos22limxxx−→=22034limxxx→=344、)2221(limnnnn−++++∞→原式＝(1)lim()2(2)2nnnnn→∞+−+＝42lim+−∞→nnn＝－125、)1ln(2)cos(sin1lim20xxx+−→解：原式＝220221limxxx→＝416、22401limsin2xxxex−→−−解：原式＝420161lim2xexxx−→−−306422lim2xxexxx−→+−=＝33030642lim64)1(2lim2xxxexxxx−=−−→−→321−=7、011lim1xxxe→−−解：201=limxxexx→−−原式011lim22xxex→−==8、设32lntan)2(2)(sinxxxxxyxx+−+=，求y′.解：设xxytan1)(sin=，32ln2)2(2xxxxyx+−=1y两边同时取对数得xxysinlntanl
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