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第02讲三角恒等变换一、单选题1.若sincos1sincos2,则πtan4的值为()A.2B.2C.12D.12【答案】C【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.【详解】因为sincos1sincos2.所以tan1tan112,解得tan3,于是πtan4πtantan3114π1321tantan4.故选:C.2.若tan3,则sin(23π)()A.35-B.35C.45D.45【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角的三角函数关系式将sin(23π)化简为22tantan1,即可求得答案.【详解】由题意知tan3,故2222sincos2tan233sin(23π)sin2sincostan1915,故选:A.3.设43sincos65,则cos23=()A.1825B.1825C.725D.725【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式和辅助角公式对43sincos65进行化简,可得4cos65,再利用二倍角的余弦公式即可得到答案【详解】解:343s1sicincosnos2265即3343sincos225,所以134sincos225即4cos65,所以2167cos22cos121362525,故选:D4.已知函数12sin,R36fxxx.设106,0,,3,3222135ff,则cos的值为()A.5665B.1665C.6365D.3365【答案】B【分析】由1063,322135ff,得5sin13,3cos5,再利用同角三角函数的关系求出cos,sin,然后利用两角和的余弦公式可求得cos的值.【详解】因为12sin,R36fxxx,1063,322135ff,所以1102sin332613,162sin32365,所以5sin13,3sin25,所以3cos5,因为,0,2,所以22512cos1sin116913,294sin1cos1255,所以coscoscossinsin123541613513565,故选:B5.若π6,且2cossin2sin1cos2,则cos()A.34B.34C.14D.14【答案】A【分析】由二倍角公式将的等式右侧化简,再利用分式运算及两角和差的余弦公式化简,根据π6,即可求得cos的值.【详解】解:由2cossin2sin1cos2,且2sin22sincos,1cos22cos即22cos2sincossinsin2coscos.所以2coscossinsin整理得:2coscos()0又π6,所以π2coscos06,即3cos4.故选:A.6.已知函数()2sin3cosfxxx在x处取得最大值,则cos()A.31313B.21313C.21313D.31313【答案】A【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()2sin3cos13sinfxxxx,其中为锐角,313sin13.因为当x处取得最大值,所以22k,kZ,即22k,kZ,所以313coscos2sin213k.故选:A7.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(,4)m,其中0m,若7cos225,则πtan2m()A.2B.12C.43D.34【答案】D【分析】利用三角函数定义求出tan,再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意,4tan0m,又22222222cossin1tan7cos2cossincossin1tan25,解得4tan3,从而得3m,所以3πsin()π3πcos132tan()tan()3π22sintan4cos()2m.故选:D8.公元前六世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为2sin18m,若24mn,则212cos27mn的值为()A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【分析】由平方关系结合二倍角正弦和余弦公式得出答案.【详解】因为2sin18m,24mn,所以22242sin1844sin184cos18n,所以24sin18cos182sin36212cos27cos54cos54mn故选:D.二、填空题9.已知310,sin,tan253,则tan___________.【答案】139【分析】先求出sin3tancos4,再利用和差角公式即可求解.【详解】因为30,sin25,所以294cos1sin1255,所以sin3tancos4.因为1tan3,所以tantantantan1tantan3113134312.33191443故答案为:13.910.2223164cos20sin20cos20_____.【答案】32【分析】通分利用辅助角公式及二倍角公式计算可得;【详解】解:2223164cos20sin20cos20222223cos20sin2064cos20sin20cos202223cos20sin203cos20sin2064cos20sin20cos20222334cos20sin20cos20sin202264cos20sin20cos2101222224sin40064cos20sin208cons2s0i24sin400cos406412sinn4si8014228sin400cos401si24n404cos3232cos40c0323os43223故答案为:3211.已知3tan24,且是第一象限角,则sin_____________.【答案】1010【分析】利用两角差的正切公式求出tan,再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解:因为3tan24,所以3tantan34tan2341tantan4,即tan121tan,解得1tan3,又22sintancossincos1,解得10sin10310cos10或10sin10310cos10,因为是第一象限角,所以1010sin;故答案为:1010三、解答题12.已知函数21sin3sincosR2fxxxxx.(1)若函数fx的图象过点π,03P,且π0,2,求的值;(2)若223f,且π0,3,求5πsin12的值.【答案】(1)π4(2)63【分析】(1)利用三角恒等变换整理化简fx,根据题意代入整理得cos20,结合角的范围求解;(2)根据题意代入整理,以5π12为整体运算求解,注意根据角的范围判断三角函数值的符号.(1)因为1cos231πsin2sin22226xfxxx.所以πsin226fxx.因为函数fx的图象过点π,03P,所以2πππsin2sin2cos20362.因为π0,2,所以20,π,所以π22,解得π4.(2)因为π0,3,所以πππ2,662.因为π22sin263f,所以2ππ1cos21sin2663.所以5πππ1cos2cos2πcos26663,又25π5πcos212sin612,所以25π2sin123.因为π0,3,所以5π5π3π,12124,所以5π6sin123.13.已知平面向量3sin,cosmxx,cos,cosnxx,函数fxmn.(1)求函数fx的解析式;(2)求函数fx在区间0,2上的值域.【答案】(1)1sin262πfxx(2)30,2【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合二倍角的正余弦公式和辅助角公式即可得解;(2)根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.(1)解:231cos2π13sincoscossin2sin22262xfxmnxxxxx;(2)解:因为0,2x,所以ππ7π2,666x,所以π1sin2,162x,所以π13sin20,622x,即函数fx在区间0,2上的值域为30,2.一、单选题1.已知π2sin33,则πcos23()A.19B.19C.459D.459【答案】A【分析】将πcos23化为πcos[2()π]3,利用诱导公式以及二倍角的余弦公式,化简求值,可得答案.【详解】因为π2sin33,所以2ππππ81cos2cos[2()π]cos[2()]2sin11333399,故选:A.2.若π02,,,且1cos2)(1sin)sin2cos(,则下列结论正确的是()A.π2B.π22C.π22D.π2【答案】C【分析】由π02,及二倍角的余弦公式可得cos(1sin)sincos,根据两角差的正弦公式可得cossin,由诱导公式及,的范围,结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解:∵π02,,,∴cos0.由1cos2)(1sin)sin2cos(,可得22cos(1sin)2sincoscos,即cos(1sin)sincos.∴
本文标题:第02讲 三角函数恒等变换(练)(解析版)
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