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网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明一网格(坐标系)中的旋转作图(教材P62习题23.1第4题)分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．图1解：逆时针旋转90°的图形如下：教材母题答图(1)逆时针旋转180°的图形如下：教材母题答图(2)【思想方法】网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：(1)找出原图形中的关键点；(2)确定旋转中心、旋转角及旋转方向；(3)根据旋转的性质作出关键点的对应点；(4)按原图的关键点连接顺序连接作出的所有点，并标上相应字母．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为(D)图2A．(－2，2)B．(4，1)C．(3，1)D．(4，0)【解析】作∠BDB′＝90°，且使B′D＝BD，则B′的坐标为(4，0)．故选D.(1)如图3(1)，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′.(2)折纸：如图3(2)，有一张矩形纸片ABCD，要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的D′处，请在图中作出该直线．(1)(2)图3解：如图所示．(1)变形2答图(1)(2)变形2答图(2)如图4，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转变换得到的．(1)请写出旋转中心的坐标是__(0，0)__，旋转角是__90__度；(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°的三角形；(3)设Rt△ABC两直角边BC＝a，AC＝b，斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．图4变形3答图解：(2)画出图形如图所示；(3)由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2.二旋转证明(教材P63习题23.1第10题)如图5，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？图5解：BE＝DC证明：∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，同理得AE＝AC，∠EAC＝60°，∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.【思想方法】旋转前、后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．如图6，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是__19__．图6图7如图7，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.解：(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，∴∠ABC1＝180°.∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∴∠A1BC＝60°.又∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形，∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°，∴AA1∥BC，∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.如图8(1)，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；(2)如图8(2)，将△ABD绕点A顺时针旋转到△AB′D′.①当旋转角为________度时，边AD′落在边AE上；②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．(1)(2)图8解：(1)证明：∵△ABD，△ACE，都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC.∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD.(2)①60；②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明如下：由旋转可知AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝12∠ABD＝12×60°＝30°，DP∥BC.∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝12∠ACE＝12×60°＝30°.∵DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.∴BD′＝CD′.∴△BDD′≌△CPD′.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°α60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)(2)图9(1)如图9(2)，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图9(2)，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．解：(1)30°－12α；(2)△ABE为等边三角形证明：连接AD，CD，ED∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.则BC＝BD，∠DBC＝60°又∵∠ABE＝60°∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－12α；且△BCD为等边三角形．在△ABD与△ACD中AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD.∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12α∵∠BCE＝150°∴∠BEC＝180°－(30°－12α)－150°＝12α.在△EBC与△ABD中∠BEC＝∠BAD，∠EBC＝∠ABD，BC＝BD.∴△ABD≌△EBC(AAS)∴AB＝BE又∵∠ABE＝60°∴△ABE为等边三角形(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°.∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°.∴△DCE为等腰直角三角形∴DC＝CE＝BC∵∠BCE＝150°.∴∠EBC＝180°－150°2＝15°而∠EBC＝30°－12α；∴α＝30°.
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