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几种住房贷款还款方式的计算叶斯俊1，段藤藤21中国矿业大学（221008）2中国矿业大学（221008）摘要：本文针对当前社会上流行的按揭贷款买房、购车等现象，分别建立了月均等额还款与等额本金递减还款法的数学模型。并结合实例说明其在经济生活中的具体运用。关键词：住房贷款；贷款余额；还款方式；贷款1错误!未找到引用源。引言随着经济、社会的发展，贷款、保险、养老金和信用卡等金融事务越来越多地进入普通人的生活，个人按揭贷款购买住房、汽车等是其中重要的内容。所谓按揭，就是消费者、商家、银行之间的一种协定，是消费者因购买资金不足而向银行贷款购物（以所购物作为抵押），再按照约定的时间间隔定期偿还贷款并付息的一种消费方式。然而，大多数人对还款中的一些问题（如：对于不同的还款方式如何计算各期还款额，若自己设定一个每月还款数额还需多长时间，还款本息合计的计算方法等）了解不多。现从数学模型的角度对其内容予以揭示。2基本假设1.假设外界因素的影响不改变还款期限；2.假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值；3.假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响；4.假设利率、借款期限和最短还款期限都按月计算；5.假设每次还款都在当次期限的最后一天。3预备知识定义3.1设用()At表示原始投资(0)A经过(0)tt(事先给定时间度量单位)后的价值，则当t变动时称()At为总量函数。定义3.2总量函数()At在时间12[,]tt内的变化量称为期初货币量1()At在时间12[,]tt内的利息，记为12,ttI，即12,21()()ttIAtAt错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。定义3.3设1个货币单位的本金在(0)tt时刻的价值为()at,则t变动时，称()at为累积函数。定义3.4若每次的年金金额为1个货币单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计n次，则称种年金为n期标准期末年金。分别用记号nia和nis表示利率为i比较日选为0时刻的n期标准期末年金的所有年金的现值之和与终值之和。4模型建立月均等额还款模型按期还款设L为借款额（即贷款本金），i为借款利率，n为计划还款月数，R每月的还款额，v为贴现因子。每月还款额等效于n期标准期末年金，应该有每月还款额的现值之和应该等于借款额L即：niRaL错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。下面我们首先推到nia的表达式。n期标准期末年金的时间流程图图1所示。11…11012…n-1n图1n期标准期末年金的时间流程图由上图可以得到第一期末的年金现值为11i，第二期末的年金现值为211i，…第n期末的年金现值为11ni，于是得到关于年金现值的基本计算公式：22111...111...(1)11nninnnaiiivvvvvvvi错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。式得：(1)1(1)1nnnniLLLiiRvaii错误!未找到引用源。设第k期所付利息为kI，则有：111nkknkiIiav错误!未找到引用源。因此，支付利息总现值I：11111ntkknnktknniIIvvvanv错误!未找到引用源。提前还款假设贷款者每月还款R元，则n个月可以还清，但由于某种原因，贷款者想提前还贷，在还款k次后一次性还清贷款余额。现在我们主要考虑，贷款者该一次性还款额P。计算这个量P我们用这样的两种方法：预期法和追溯法。前者是用所有未支付的分期付款现值之和表示k次付款后的贷款余额；后者是用原始贷款额的累积值扣除所有已付款额的累积值表示k次付款后的贷款余额。这两种计算贷款余额的方法的具体的基本思想可以用下面一组等式表示:贷款者在还款k次后，未偿还的债务在当时的价值kB。首先，在贷款之初，原始贷款额=今后所有还款的现值之和然后将上式两边同时累积到还款期间的某个时刻，则有原始贷款额的当前价值=所有分歧还款期间在这个时刻的价值之和，其中等式右边又可以分成两部分:过去还款的当前价值和未来还款的当前价值。这两部分价值的计算是不同的，前者的价值为终值，后者的价值为现值，因此，上式又可以表示为原始贷款额的当前价值=过去还款的终值+未来还款的现值。如果将上式右边的第一项移动到左边，则新等式的右边表示预期法，左边表示追溯法。每次还贷金额已知的情况设贷款利率为i，分n次还清，每次还款R，kB表示付款k次后瞬间未结贷款余额，为了区别所采用的计算方法，分别用pkB和rkB表示预期算法和追溯算法的结果，则对于任意k次还款后瞬间，应用预期算法有pknkiBa错误!未找到引用源。又因为这时的原始贷款额niLa，所以应用追溯算法有(1)pkknikiBais错误!未找到引用源。我们可以证明采用预期法和追溯法计算得到的未结贷款余额是相同的，即,(0,1,2,...,)prkkBBkn错误!未找到引用源。证明：由式错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。有1(1)(1)nrkkpkknikikinkivBaisisaBi贷款金额已知的情形设原始贷款金额为L，贷款利率为i，分n次还清。若每次的还款额为R，则有niRaL，即niLRa，于是，对于任意的k次还款后，有预期法：pnkiknkinkininiaLBRaaLaa错误!未找到引用源。追溯法：[(1)]rkkiknisBLia错误!未找到引用源。实例应用还款额等量变化模型考虑还款额等量变化的一般方式：首次付款金额为(0)PP，然后每次变化Q，总计n次，期末方式付款。它的时间流程图如图2所示。如果用A表示这种还款的现值，则有PP+Q…P+(n-1)Q012…n图2还款额等量变化的时间流程图2322323232()(2)[(1)](...)[2...(1)]{[2...][...]}()()()nnnnnninininniniAPvPQvPQvPnQvPvvvQvvnvPaQvvnvvvvvdaPQaQvdvavPQaQviviv错误!未找到引用源。若上述1PQ时，用()nIa表示此时的现值，则由错误!未找到引用源。有如下计算公式：2()()nniniavIaviviv错误!未找到引用源。实际上，许多变化年金都可以用这种标准递增年金表示，例如：前面的一般等量变化年金有()()niniAPQaQIa错误!未找到引用源。在此基础上我们还可以应用到:首次付款金额为(0)PP，然后每m次变化Q，总计n次（本文只考虑n为m的倍数下的情况），期末方式付款。它的时间流程图如图3所示。01…mm+1…2m…(r-1)m…rm0P…pP+Q…P+Q…P+(r-1)Q…P+(r-1)Q图3每m变化Q的时间流程图我们将现金流重新分割，并将原来的m期换算为一期，则其所对应的贷款利率i，现金流的现值A，则有(1)1mii2(1)10...mmkkAAvAvAvAAv错误!未找到引用源。5结论本文给出了不同还款方式的计算方法，通过该方法，贷款者可以自行计算各种还贷额，从而分析各种还款方式的优缺点，有助于贷款者根据自身实际情况选择还款方式。参考文献[1]吴岚、黄海.金融数学引论.北京：北京大学出版社，2006年.[2]KellisonSG.利息理论，尚汉冀译，上海：上海科学技术出版社，1995年.[3]张莉.住房贷款还款方法的比较，浙江统计，2004，12(6)，59-60.[4]王玉春.住房按揭贷款的计算公式及还款技巧，北京统计，2003，总(165):50-51.[5]郝振莉.吕良军.按揭贷款数学模型分析，黄河水利职业技术学院学报，2006，18（1）：51-53.[6]赵振兴.对个人住房贷款还款方式的探讨.JoumalofHandanPolytechnicCollege，2005，18（4）：46-50.SomeWaysofRepaymentCalculationaboutHousingLoansYeSijun,DuanTengtengSchoolofScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou221008AbstractThisarticlerespectivelyestablishesthemathematicalmodeloftheequalrepaymentforaveragemonthlyandthatofthereducedrepaymentforequalcapitalinconnectionwiththepopularphenomenonofhouseandcarpurchasingthroughmortgageloansinthecurrentsociety;atthesametime,withexamples,thisarticlealsoexplainshowtousethesemodelsspecificallyineconomiclife.Keyword:Housingloan;balanceofloans;repaymentmode;credit
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