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2010年普通高等学校招生全国统一考试A卷文科数学(必修+选修Ⅱ)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1.集合A12xx,B1xx,则A∩B=(A)1xx(B)12xx(C)11xx(D)11xx2.复数z=1ii在复平面上对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.函数()2sincosfxxx是(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数4.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为ABxx和,样本标准差分别为As和Bs,则(A)Ax>Bx,As>Bs(B)Ax<Bx,As>Bs(C)Ax>Bx,As<Bs(D)Ax<Bx,As<Bs5.右图是求x1,x2,…,x10的乘积S的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(A)S=S(1)n(B)1SSmx(C)SSn(D)SSmx6.“0a”是“a>0”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.下列四类函数中,具有性质“对任意的0,0xy,函数()fx满足()()()nfxyfxfy”的是(A)幂函数(B)对数函数(C)指数函数(D)余弦函数[来源:学科8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(A)2(B)1(C)23(D)139.已知抛物线22(0)ypxp的准线与圆22(3)16xy相切,则p的值为(A)12(B)1(C)2(D)410.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于..6.时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(A)y=[10x](B)y=[310x](C)y=[410x](D)y=[510x]二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).11.观察下列等式:332333212(12),123(123),333321234(1234),,根据上述规律,第四个等式.....为.12.已知向量(2,1),(1,),(1,2)abmc若()abc∥,则m=.13.已知函数232,1,(),1,xxfxxaxx若((0))4ffa,则实数a=.14.设,xy满足约束条件24,1,20,xyxyx,则目标函数3zxy的最大值为.15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)不等式213x的解集为.B.(几何证明选做题)如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=cm.C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程cos,1sinxy(为参数)化成普通方程为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(本小题满分12分)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列2na的前n项和Sn.17.(本小题满分12分)在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长..[来源:Zxxk.Com]18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V..19(本小题满分12分)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查,测得身高情况的统计图如下:[来源:学。科。网Z。X。X。K](Ⅰ)估计该校男生的人数;(Ⅱ)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;[来源:学.科.网](Ⅲ)从样本中身高在180~190cm之间的男生..中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率.20.(本小题满分13分)如图,椭圆2222:1xyCab的顶点为1212,,,AABB,焦点为12,FF,11221122117,2BABABFBFABSS.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线,1OP.是否存在上述直线l使0OAOB成立?若存在,求出直线l的方程;并说出;若不存在,请说明理由.21、(本小题满分14分)已知函数()fxx,()lngxax,aR.(Ⅰ)若曲线()yfx与曲线()ygx相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;(Ⅱ)设函数()()()hxfxgx,当()hx存在最小值时,求其最小值()a的解析式;(Ⅲ)对(Ⅱ)中的()a,证明:当(0,)a时,()1a.[来源:学科网ZXXK]参考答案17.解:在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos2222ADDCACADDC=10036196121062,ADC=120°,ADB=60°[来源:Z*xx*k.Com]在△ABD中,AD=10,B=45°,ADB=60°,由正弦定理得sinsinABADADBB,AB=310sin10sin60256sinsin4522ADADBB18.解:(Ⅰ)在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,[来源:学科网]∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,19.解:(Ⅰ)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(Ⅱ)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率350.5,70f故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率0.5.p(Ⅲ)样本中身高在180~185cm之间的男生有4人,设其编号为①,②,③,④,样本中身高在185~190cm之间的男生有2人,设其编号为⑤,⑥,从上述6人中任取2人的树状图为:故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率293.155p20.解:(Ⅰ)由117AB知a2+b2=7,①由112211222SABABSBFBF知a=2c,②又b2=a2-c2③由①,②,③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为221.43xy(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为1122,,xyxy(),假设使0OAOB成立的直线l存在,(i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为ykxm,由l与n垂直相交于P点且1OP得121212120()()xxyyxxkxmkxm22121212()xxkxxkmxxm221212(1)(),kxxkmxxm将④,⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0,kmkmmk⑥将21mk代入⑥并化简得25(1)0k,矛盾.即此时直线l不存在.[来源:学&科&网](ii)当l垂直于x轴时,满足1OP的直线l的方程为11xx或,则A,B两点的坐标为33(1,),(1,),22或33(1,),(1,),22当1x时,335(1,)(1,)0;224OAOB当1x时,335(1,)(1,)0;224OAOB∴此时直线l也不存在.综上可知,使0OAOB成立的直线l不存在.21.解:(Ⅰ)fx=12x,()gx=ax(x0),由已知得ln,1,2xaxaxx解得a=2e,x=e2,(i)当a0时,令()0,hx解得24xa,∴当0x24a时,()0,hx,()hx在(0,24a)上递减;当x24a时,()0,hx,()hx在2(4,)a上递增.∴24xa是()hx在(0,)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是()hx的最小值点.∴最小值22 ()(4)2ln42(1ln2).ahaaaaaa(ii)当0a时,2()0,2xahxx()hx在(0,+∞)上递增,无最小值。故()hx的最小值 ()a的解析式为 ()2(1ln2)(0).aaaa(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ()2(1ln2ln).aaa则 ()2ln2aa,令 ()0a解得12a.当102a时, ()0a,∴ ()a在1(0,)2上递增;当12a时, ()0a,∴ ()a在1(,)2上递减.∴ ()a在12a处取得最大值1 ()1,2∵ ()a在(0,)上有且只有一个极值点,所以1 ()12也是 ()a的最大值.∴当(0,)a时,总有 ()1.a选择填空解析:1.集合A={x-1≤x≤2},B={xx<1},则A∩B=[D](A){xx<1}(B){x-1≤x≤2}(C){x-1≤x≤1}(D){x-1≤x<1}解析:本题考查集合的基本运算由交集定义得{x-1≤x≤2}∩{xx<1}={x-1≤x<1}2.复数z=1ii在复平面上对应的点位于[A](A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:本题考查复数的运算及几何意义1iiiii21212)1(,所以点()21,21位于第一象限3.函数f(x)=2sinxcosx是[C](A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π的奇函数4.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为ABxx和,样本标准差分别为sA和sB,则[B](A)Ax>Bx,sA>sB(B)Ax<Bx,sA>sB(C)Ax>Bx,sA<sB(D)Ax<Bx,sA<sB解析:本题考查样本分析中两个特征数的作用Ax<10<Bx;A的取值波动程度显然大于B,所以sA>sB2010高考真题及答案高考真题及答案右图是求x1,x2,…,x10的乘积S的程序框图,图中空白框中应填入的内容为[D](A)S=S*(n+1)(B)S=S*xn+1(C)S=S*n(D)S=S*xn解析:本题考查算法S=S*xn6.“a>0”是“a>0”的[A](A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:本题考查充要条件的判断00,00aaaa,a>0”是“a>0”的充分不必要条件7.下列四类函数中,个有性质“对任意的x0,y0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是[C](A)幂函数(B)对数函数(C)指数函数(D)余弦函数解析:本题考查幂的运算性质)()()(yxfaaayfxfyxyx8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是[B](A)2(B)1(C)23(D)13解析:本题考查立体图形三视图及体积公式如图,该立体图形为直三棱柱所以其体积为1221219.
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