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第2章控制系统的数学模型第2章控制系统的数学模型2.1列写系统的微分方程2.2传递函数2.3系统的动态结构图2.4动态结构图的等效变换2.5信号流图与梅逊公式2.6系统的传递函数习题第2章控制系统的数学模型2.1列写系统的微分方程微分方程是在时域中描述系统动态特性的数学模型。列写系统的微分方程是建立数学模型的重要环节。研究控制系统时常用的传递函数、动态结构图等都是在微分方程的基础上衍生出来的。第2章控制系统的数学模型一般线性定常系统或元件的典型形式为xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn1)1()1(101)1()1(10（2-1）第2章控制系统的数学模型图2-1带阻尼的弹簧系统mFx第2章控制系统的数学模型2.1.1机械系统例2.1带阻尼的弹簧系统如图2-1所示，试列写系统的微分方程。解(1)明确输入、输出量。外作用力F为输入变量，位移x为输出变量。(2)建立输入、输出量的动态联系。设质量m相对于初始平衡状态的位移、速度和加速度分别为x、dx/dt和d2x/dt2。根据牛顿定律得第2章控制系统的数学模型其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的粘性摩擦系数。(3)整理,得系统数学模型：（2-2）22dtxdmkxdtdxfFkxdtdxfdtxdmF22（2-3）第2章控制系统的数学模型2.1.2电路系统例2.2已知一RLC电路如图2-2所示，试列写其微分方程。解(1)明确输入、输出量。uo(t)为输出量，ui(t)为输入量。(2)建立输入、输出量的动态联系。idtCuuidtCRidtdiLoi11（2-４）（2-5）第2章控制系统的数学模型图2-2RLC电路LRi(t)ui(t)uo(t)C第2章控制系统的数学模型(3)消去中间变量，得到系统的数学模型。由式(2-5)得dtduCio代入式(2-４),得)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo（2-6）第2章控制系统的数学模型2.1.3机电系统例2.3已知一他励直流电动机系统如图2-3所示，试列写其微分方程。图中，u(t)为电枢电压；Ea为反电动势；Ia为电枢电流；Ra为电枢电阻；La为电枢电感；M为电磁力矩；Ω为电机角速度；J为电动机总的转动惯量；f为电动机和负载折算到轴上的等效粘性阻尼系数；If为励磁电流（常数）。解(1)明确输入、输出量。输出量为Ω，输入量为u(t)。第2章控制系统的数学模型Iau(t)If＋－J，f负载MRaLaEa－图2-3直流电动机系统第2章控制系统的数学模型(2)建立输入、输出量的动态联系。在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁运动，二者之间还存在耦合。根据几种关系建立的输入、输出量的动态联系为机械运动：MfdtdJ（2-7）电磁运动:aaaaaIRdtdILEu（2-8）第2章控制系统的数学模型机电之间的耦合关系：Ea=CeΩ（2-９）M=CmIa（2-10）其中，Ce为电动机电势常数；Cm为电动机力矩常数。第2章控制系统的数学模型(3)消去中间变量，得到系统的数学模型。消去中间变量Ea、Ia和M,得emeameammeaCuCCfRdtdCCfLJRdtdCCL122（2-11）第2章控制系统的数学模型当电动机的电感La和粘性摩擦系数f较小时，二者对系统的动态影响可以忽略不计，则式(2-11)可以简化为emCudtdT（2-12）其中meamCCJRT称为电动机的机电时间常数。第2章控制系统的数学模型2.1.4非线性方程的线性化严格说，现实系统中的元件几乎都具有不同程度的非线性，所以对于系统的输入变量和输出变量之间的关系来说，其实应该用非线性动态方程来加以描述。但是在大多数情况下，非线性因素都比较弱，可以将它们近似为线性元件，然后用线性微分方程加以描述。然而，有的元件的非线性程度较为严重，如果简单地将它们看作线性元件，则会使建立的数学模型与实际情况偏离过大，从而导致分析结果出现错误。第2章控制系统的数学模型通常采用“小偏差法”对非线性方程进行线性化。应用“小偏差法”的条件是输入变量和输出变量的函数及各阶导数值在预定的工作点附近都存在。该方法的实质是在一个很小的范围内将非线性曲线用一段直线来代替。方法如下。设非线性函数y=f(x)，其特性如图2-４所示。第2章控制系统的数学模型图2-4非线性特性yy0＋yy0OAxyy＝f(x)x0＋xx0x第2章控制系统的数学模型图中，A点为工作点，y0=f(x0)。x、y在工作点附近做小范围增量变化，即当x=x0+Δx时，有y=y0+Δy。则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒级数：2000)(!21)()(xxfxxfxfy（2-13）第2章控制系统的数学模型当Δx很小时，可以忽略上式的高次项，则式(2-13)可以改写为y=f(x0)+f′(x0)Δx（2-1４）或y-y0=f′(x0)Δx（2-15）即Δy=f′(x0)Δx（2-16）第2章控制系统的数学模型对于式(2-16)，如果略去增量符号Δ，那么非线性函数y=f(x)在工作点处的线性化方程就是y=f′(x0)x（2-1７）令k=f′(x0)，则有y=kx（2-1８）第2章控制系统的数学模型2.2传递函数2.2.1传递函数的概念设RC电路如图2-5所示，输入电压为ui(t)，输出电压为uo(t)。iooyudtduRC（2-19）令RC=T，上式改写为ioouudtduT（2-20）第2章控制系统的数学模型RuouiiC图2-5RC电路第2章控制系统的数学模型设初始值uc(0-)=0，对式(2-20)进行拉氏变换，得TsUo(s)+Uo(s)=Ui(s)（2-21）比较式(2-20)和式(2-21)可以看出，只要将微分方程中的d/dt变为s；uo(t)变为Uo(s)；ui(t)变为Ui(s)，就可以得到象方程。二者的结构、项数、系数和阶次完全一致。第2章控制系统的数学模型将式(2-21)整理,得11)()(TssUsUio（2-22）式(2-22)中，Uo(s)和Ui(s)分别为输出量和输入量的象函数。由式(2-22)可知，Uo(s)和Ui(s)的比值是s的有理分式函数，只与系统的结构和参数有关，而与输入信号无关。由于它包含了微分方程(2-19)中的全部信息，故可以用它作为在复频域中描述RC电路输入-输出关系的数学模型，可记为第2章控制系统的数学模型这一关系可以用图2-6所示的方框图表示，输入信号经过G(s)动态传递到输出，故称G(s)为RC电路的传递函数。11)()()(TssUsUsGio（2-23）第2章控制系统的数学模型图2-6RC电路方框图G(s)Uo(s)Ui(s)第2章控制系统的数学模型2.2.2传递函数的定义传递函数是指在零初始条件下，线性定常系统输出变量的拉氏变换象函数与输入变量的拉氏变换象函数之比。设线性定常系统为)()()()()()()()(1)1()1(101)1()1(10trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmnmnnnnnn（2-2４）第2章控制系统的数学模型设初始值为0，对式(2-2４)两边进行拉氏变换得(a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)（2-25）根据传递函数的定义得到系统的传递函数为nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(（2-26）第2章控制系统的数学模型2.2.3传递函数的性质(1)传递函数是将线性定常系统的微分方程经拉氏变换后导出的，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。(2)传递函数是复变量s的有理分式函数，通常n≥m，且所有的系数均为实数。(3)传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式和大小无关。(4)传递函数是在零初始条件下求得的。第2章控制系统的数学模型2.2.4传递函数的求法1.根据系统的微分方程求传递函数首先列写出系统的微分方程或微分方程组，然后在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换，将它们转换为s域的代数方程组，消去中间变量，得到系统的传递函数。第2章控制系统的数学模型例2.4试求例2.2中RLC电路的传递函数。解根据基尔霍夫定律，有idtCuuidtCRidtdiLoi11（2-27）（2-28）第2章控制系统的数学模型在零初始条件下,将上两式进行拉氏变换得)(1)()()(1)()(sCssUsUsCssRIsLsIoi（2-29）（2-30）消去中间变量I(s)后，得(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)（2-31）根据传递函数的定义,可得RLC电路的传递函数为11)()()(2RCsLCssUsUsGio（2-32）第2章控制系统的数学模型2.用复阻抗的概念求电路的传递函数在电路中有三种基本的阻抗元件：电阻、电容、电感。流过这三种阻抗元件的电流i与电压u的关系是电阻：u=Ri；电容：；电感：。iCdtdu1dtdiLu第2章控制系统的数学模型对以上各等式两边作拉氏变换（零初始条件），得：电阻：U(s)=RI(s)可见电阻R的复阻抗仍为R。电容：)(1)(sICssU整理得)(1)(sICssU可见电容的复阻抗为1/(Cs)。第2章控制系统的数学模型电感：U(s)=LsI(s)可见电感的复阻抗为Ls。复阻抗在电路中经过串联、并联，组成各种复杂电路，其等效阻抗的计算和一般电阻电路完全一样。通过复阻抗的概念可以直接写出一个电路的传递函数，省掉了微分方程的推导和计算过程，从而减小了计算量。第2章控制系统的数学模型例2.5试用复阻抗的概念求例2.2所示电路的传递函数。解根据基尔霍夫定律，有)(11)(11)(2sURCsLCssUCsRLsCssUiio（2-33）整理得11)()()(2RCsLCssUsUsGio（2-34）第2章控制系统的数学模型2.3系统的动态结构图控制系统的动态结构图（方框图）是描述系统中各变量间关系的数学图形。应用动态结构图可以简化复杂控制系统的分析和计算，同时能直观地表明控制信号在系统内部的动态传递关系，因此在控制理论中的应用十分广泛。第2章控制系统的数学模型2.3.1动态结构图动态结构图是系统中各环节函数功能和信号流向的图形表示，由函数方框、信号线、信号分支点、信号相加点等组成（如图2-７所示）。(1)信号线（如图2-7(a)所示）：表示输入、输出通道，箭头代表信号的传递方向。(2)函数方框（传递方框，如图2-7(b)所示）：方框内为具体环节的传递函数。第2章控制系统的数学模型(3)信号相加点（综合点、比较点，如图2-7(c)所示）：表示几个信号相加减。(4)信号分支点（引出点，如图2-7(d)所示）：表示同一信号输出到几个地方。第2章控制系统的数学模型图2-7动态结构图的基本组成部分－(a)(b)(c)(d)G第2章控制系统的数学模型2.3.2动态结构图的绘制系统的动态结构图的绘制步骤如下：(1)根据信号传递过程，将系统划分为若干个环节或部件。(2)确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数。(3)绘出各环节的动态结构图。(4)将各环节相同的量依次连接，得到系统动态结构图。第2章控制系统的数学模型例2.6试绘制图2-8所示RC电路的动态结构图。图2-8RC电路uii1R1R2C1i2C2uou1第2章控制系统的数学模型解(1)根据信号传递过程，将系统划分为四个部件：R1、C1、R2、C2。(2)确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数。R1：输入量为ui-u1，输出量为i1；传递函数为RsUsUsIi1)()()(11第2章控制系统的数学模型C1
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