化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式

化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式状态空间描述的建立建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立2、由系统物理或化学机理进行推导3、由微分方程或传递函数演化而得一、由系统框图建立状态空间描述uy4k111sTk122sTksTk33［例1-4］：系统框图如下：［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换等效变换如下：u11Tk11T22Tk3x3x1x2x2x1x21T33Tk4ky图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：则有：2131xTkx3222221xTkxTxuTkxTxTkkx11311114311xy写成矩阵形式：uTkxxxTTkkTkTTkX1132111412223300101000X001y系统二、由系统机理建立状态空间描述•步骤：–1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；–2)选择有关的物理量作为状态变量；–3)导出状态空间表达式。状态变量的选取原则系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。[例1-6]图L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)选择状态变量两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi右回路左回路整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi3）状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR[例1-7]试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的状态空间描述。21,MM21,yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf[解]：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,,,vyxvyxyxyx11yk11yM11yB)(122yyB22yM)(122yykf1M2M质量块受力图如下：则有：)()(122122111111yyByykykyByM及：fyykyyByM)()(12212222将所选的状态变量2241132211,,,vyxvyxyxyx代入上式并整理出状态方程得：2211xyxy输出方程：fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX222221212121121211000010000100432100100001xxxxy化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为最小实现。本节先研究SISO系统。线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(n阶SISO控制系统的时域模型为：可实现的条件：m≤nuxyuAxxdcb系统的传递函数为：0111n0111mm)(asasasbsbsbsbsWnnmm当系统传递函数中m=n时，即应用长除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnnD(s)N(s)basasasssbsWnnn0111n011n1nn)(式中是直接联系输入、输出量的前馈系数，是严格有理真分式，其系数用综合除法得nbNsDs000111111nnnnnnbabbabbab其状态空间描述为nuybuxAxbcx，(1-44)(1-45)式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项nbu微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：一、传递函数中没有零点时的实现ubyayayaynn001)1(1n)(系统的传递函数为：0111n0)(asasasbsWnn1.）选择状态变量若给定初始条件则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的输入及令:uxaxaxaxxxxxxxxnnnnn121101322101yb11、标准I型2.）化为向量矩阵形式：状态方程为:输出方程为:uxxxaaaxxxnnn100100102111021xy00b0注：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。3.）画系统结构图：0b0a2xuy1xnxnx1nx1a1na2na2、标准II型1.）选择状态变量若给定初始条件则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的输入及令:nii1i0n01xy1-n,1,iyaxxubxax2.）化为向量矩阵形式：状态方程为:输出方程为:uxxxxaaaaxxxxnnnnnn000b10000000001001211210121xy1000注：标准I型的A、b阵和标准II型的A、c阵互为转置的关系，即：TIIITIIIbc,AA二、传递函数中有零点时的实现)1(ububububyayayay011)(n1n(n)n011)(n1n(n)不失一般性，微分方程形式：状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。设系统传递函数为：应用长除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn1、标准I型000111111nnnnnnbabbabbab其中：D(s)N(s)basasasssbsWnnn0111n011n1nn)(（1）能控I型引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项的微分方程，即11101110nnnnnzazazazuyzzz(1-17)定义如下一组状态变量1120nxzxzxz，，，(1-18)可得状态方程：1223101101121nnnnnxxxxxazazazuaxaxaxu输出方程为其向量-矩阵形式为式中0121010000100001naaaaA0001b121nnxxxxx011nc01121nnyxxxubnuyxAxbcx，ubn)2(112n231n12n1uxxuxxuxxuyxnn（2）能观测I型1.）选择状态变量式中系数是待定系数.n,,,10)3(112n321n21uxxuxxuxxnn整理(2)式得:)4(n1012110uxyuxaxaxaxnnn由结构图可以看出:联立(3)式和(4)式，即可求得状态空间表达式为：uxaaaxn01n1101000010uxyn001输出方程:状态方程:A仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了2.）求n,...,,,210思路:由式(2)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式，并代入原始微分方程式(1)中，根据u及其各阶导数的系数相等的原则求解：)5(12)2(1n)1(n)1(n1n2n3n1n2n1n2n1n1uuuuxyuuuxuuxyuuxuxyuxynnnn由式(2)可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：)6(01uxxnn1nx令由式(5)和式(6)可求得：uuuuuxuuuuxynnnnnnn012)1(1n)(n112)1(1n)(n)((7)将式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：n,,,10)8(0n01n1221100n21n122nn111nn102111aaaabaababbxaxaxaxnnnnnnnnnnn为便于记忆，将上式写成：011nn2、标准II型•与标准I型相同，标准II型也分为能控II型和能观II型。•能观II型与能控I型互为对偶。•能控II型与能观I型互为对偶。3、约当标准型nnnnkknnnnbscscscscscscssssbsbsbsbs2q2q1q1q1111q1)1q(1q1q121q10111)()()()())(()()(W不失一般性，讨论此系统：也有一个q重极点：n,,,2q1q1分析：既有互异极点：实现方法：整理得)1()()()()()(1qq11q1)1q(1sUbsUscsUscsYnni

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