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山东大学《数学分析III》期末复习参考题题号一二三四总分得分一、填空题（共10小题，40分）1、若fxyyeyxx(,)cos()=−−2，则),(2xxfx=______________.2、设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则f(x)=______________.3、函数zxyxy=+−arctan1在点（－1，2）沿{}a=−13,方向的方向导数是______________.4、设D：0≤x≤a,－a≤y≤a,当n为奇数时,∫∫Dnmdxdyyx=______________.5、设曲线xtytzt=+=−=+2131223,,在t=−1对应点处的法平面为S，则点(,,)−241到S的距离d=______。6、若曲线xtyarctgtzt=+==ln(),,123在点(ln,,)241−−π处的一个切向量与ox轴正向夹角为锐角，则此向量与oy轴正向夹角的余弦是______。7、设D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知∫∫−−Ddxdyyx21=_____.8、函数zxy=+22在闭域{}(,),,xyxyxy≥≥+≤0022上的最大值是______。9、设函数Fuvw(,,)具有一阶连续偏导数，且,2)6,3,3(,3)6,3,3(−=−−=−−vuFF1)6,3,3(=−−wF，曲面Fxxyxyz(,,)=0过点P(,,)312−，则曲面过点P的法线与yz平面的交角为_______。10、设，根据二重积分的几何意义，∫∫−Drdrdrθ21=_____.二、选择题（共5小题，20分）1、设C为包围住原点的任意光滑简单闭曲线，则(A)因为=，所以I=0；(B)I=2π；(C)因为,在C内不连续，所以I不存在；(D)因≠，所以沿不同的C，I值不同。2、曲线xeytztt===22,ln,在对应于t=2点处的切线方程是（）(A)xeeyz−=−=−4422144ln(B)xeeyz−=−=−44221242ln(C)xeeyz+=+−=442122124ln(D)xeeyz+=+−=44122124ln3、设C是沿圆周x2+y2=R2逆时针方向的一周，则用格林公式计算得()4、设函数F(x,y,z)在有界闭域Ω上可积，F(x,y,z)=f1(x,y,z)+f2(x,y,z)，则()(A)上式成立(B)上式不成立(C)f1(x,y,z)可积时成立(D)f1(x,y,z)可积也未必成立5、设uft=()，而teexy=+−，f具有二阶连续导数，则∂∂∂∂2222uxuy+=（）(A)()()()()'eefteeftxyxy22−++−−(B)()()()()'eefteeftxyxy22++−−−(C)()()()()'eefteeftxyxy22−+−−−(D)()()()()'eefteeftxyxy22+++−−三、计算题（共3小题，30分）1、求函数uxyyzzx=+−3在点（1，2，0）处沿与直线xyz−=−−=12213平行方向的方向导数。2、∫∫ΣdSx2，Σ是2222Rzyx=++在第一卦限部分3、设zyxy=(sin)，求∂∂zy。四、证明题（10分）试证极限lim()xyxyxy→→+0044243不存在。《数学分析III》期末试卷07答案与评分标准一、填空题（共10小题，40分）1、−−xex22、x2+c3、−110104、0.5、26、−1417、318、4)0,2(max==zz9、π310、π61二、选择题（共5小题，20分）BCACD三、计算题（共3小题，30分）1、解：{}∓a=±−=±==±213214114314,,,cos,cos,cosaβγ(4分)∂∂∂∂uxyzuyxz(,,)(,,)(,,)(,,)()()120120120120231=−==+=∂∂uzyx(,,)(,,)()12012035=−=(8分)所以∂∂ua=±×+×−+×221411145314=±1814(10分)2、解：Σ在xoy面上的投影域0,0,:222≥≥≤+yxRyxD(4分)又222yxRRdxdydS−−=，(6分)4200222326cosRdrrRrdRdSxRπθθπ=−=∫∫∫∫∑(10分)3、解：ln[lnlnsin]zyyx=+zzyxy=+[ln(sin)]1（6分）=+(sin)[ln(sin)]yxyxy1（10分）四、证明题（10分）证：由于lim()xyxyxy→=+=00442430（4分）lim()lim()xyyyxyxyyy=→→+==204424301243218（8分）所以lim()xyxyxy→→+0044243不存在。（10分）
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