高中数学必修三第一章空间中的垂直关系
第三课时辽宁师范大学王晓桐如果两条直线相交于一点或经过平移后相交与一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。由定义可知，两直线垂直时不一定相交。例1.61：长方体ABCD-A1B1C1D1中与棱AA1垂直的棱有几条？直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行垂直是相交的一种特殊情况1、定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直.平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线l记为2、线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。balAalblabAbal直线与平面垂直直线与直线垂直思想：P31-例1.62，1.63推论1：在两条平行线中，如果有一条垂直于平面，那么另一条也垂直这个平面。l//lmml符号表示m线面垂直的性质：1、一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线。2（推论2）、如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。3、垂直于同一条直线的两平面平行。P31-例1.64，1.65定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。两个平面α，β互相垂直，记作：α⊥β。如果一个平面过另一平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。符号语言：AB⊥β，AB∩β=B，ABαα⊥β。BAP32-例1.66，1.67如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.面面垂直线面垂直laalaaP32-例1.68例1.69：如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求证：MN⊥平面PCD.【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.【证明】(1)如图,连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.2121(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.例1.70：如图所示,Rt△ABC的斜边为AB，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：PB⊥平面AEF.例1.71：如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO作垂线，用勾股定理或体积法P32-例1.72P33-例1.73练习P38-39
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